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【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)

江蘇成人高考网www.jtgov.cn 發布時間: 2018年04月01日

一元函數積分學知識點睛(定積分)

知識結構:

【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分) 

必備基礎知識

定積分的定義:【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)上有界——理解即可

1)大化小(把大曲邊梯形分爲n個小曲邊梯形):,在【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)中任意插入若幹個分點:【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)

把區間【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)分割成n個小區間【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分),【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分),【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分),

各小區間的長度依次爲【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

2)常代變(用小矩形近似的代替每一個小曲邊梯形):在每個小區間【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)上任取一點【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)作函數值【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)與小區間長度【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)的乘積【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分),

3)近似和(n個小矩形的面積之和近似的等于大曲邊梯形的面積):作和式【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)

4)取極限(無限細分,得到大曲邊梯形的面積):【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)如果不論對【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)怎樣的分法,也不論在小區間【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)上點【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)怎樣取法,只要當【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分),和【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)總趨于確定的極限I,我們就稱這個極限I爲函數【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)在區間【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)上的定積分,記爲

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其中【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)叫做被積函數,【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)叫做被積表達式,x叫做積分變量,【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)叫做積分區間.

定積分的几何意义:——理解即可

在區間[a,b]上,f(x)?0時,積分【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)在幾何上表示由曲線y=f(x)、兩條直線x=ax=bx軸所圍成的曲邊梯形的面積;f(x)?0時,由曲線y=f(x)、兩條直線x=ax=bx軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方,定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值;

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定積分的性質——紅色部分要掌握

兩點規定:

(1)當a=b,【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

(2)當a>b,【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

性質1函数的和(差)的定積分等于它们的定積分的和(差)即

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性質2被積函數的常数因子可以提到積分号外面即:【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

性質 3  如果将積分區間分成两部分 則在整个区间上的定積分等于这两部分区间上定積分之和 即:【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

性質4如果在區間[ab]上f(x)?1則:【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

性質5如果在區間[a, b]上f(x)?0,則:【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)(a<b).

推論1如果在區間[a, b]上f(x)?g(x)則:【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)(a<b).

推論2【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)(a<b).

性質6設Mm分別是函數f(x)在區間[a, b]上的最大值及最小值,

【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)(a<b).

性質7(定積分中值定理)如果函数f(x)在閉區間[a, b]上連續,則在積分區間[a, b]上至少存在一個點,使下式成立:【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

積分上限函数

設函数f(x)在區間[a,b]上連續,并且設x[a,b]上的一點. 我們把函數f(x)在部分區間[a,x]上的定積分【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)称爲積分上限的函数.它是區間[a,b]上的函數,記爲:F(x)【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分),F(x)=【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分).

積分上限函数的导数

定理如果函數f(x)在區間[a,b]上連續,則函数F(x)【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)[a,b]上具有導數,并且它的导数爲:

F?(x)【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)(a?x<b).

牛頓--萊布尼茨公式

定理如果函數F(x)是連續函數f(x)在區間[a,b]上的一個原函數,

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此公式称爲牛頓--萊布尼茨公式,也称爲微積分基本公式.

无穷区间上的广义積分的概念

1)函數【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)在無窮區間[a,+?)上的广义積分的定义:

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在广义積分的定义式中,如果極限存在,則称此广义積分收敛;  否則称此广义積分发散.

2)函數【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)在無窮區間(-?,b]上的广义積分的定义:

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3)函數【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)在無窮區間(-?,+?)上的广义積分的定义:

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主要考察知識點和典型例題:

考點一:变上限積分求导

变上限積分主要考查它的求导性質,考试時遇到变上限積分的问题都要进行求导,主要的考查题型是:直接给一个变限積分,进行求导;定積分求导;含有变限積分的极限问题。

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根据变上限積分的求导公式,变上限積分求导就等于被積函數:

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解:解此題需要注意【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)不是積分上限函数,而是常数,所以【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)0。

典型例題【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分).(分析:這是【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)型不定式,应用洛必达法則.)

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考點二:利用萊布尼茲公式直接計算

根據牛—萊公式【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分),计算定積分就是计算不定積分,区别在于不定積分加常数C,定積分加積分區間【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分),定積分的计算方法和不定積分的计算方法没有什么区别,只需要注意積分限的变化。

典型例題【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)

解由于arctanx【江蘇成考】专升本数学1--一元函數積分學知識點睛(定積分)的一個原函數,所以

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