全國|北京|上海|天津|重慶|河北|河南|山西|山東|江蘇|浙江|湖北|湖南|陝西|安徽|福建|江西|廣東|廣西|四川|雲南|海南|遼甯|吉林|黑龍江|貴州|甘肅|青海|內蒙古|甯夏|新疆|西藏
江蘇成人高考信息网 >> 江蘇成人高考複習資料专升本数学一

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

江蘇成人高考网www.jtgov.cn 發布時間: 2018年04月01日

多元函數積分學

知識結構:

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學 

 

必備基礎知識

二重積分的定義 

f(x, y)是有界閉區域D上的有界函數。將閉區域D任意分成n個小閉區域:Ds 1, Ds 2, × × × , Ds n ,其中Ds i表示第i個小區域, 也表示它的面積. 在每個Ds i上任取一點(x i, hi), 作和:

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學.   

如果當各小閉區域的直徑中的最大值l趨于零時, 這和的極限總存在, 則稱此極限爲函數f(x, y)在閉區域D上的二重積分, 記作【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學, 

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學.

f(x, y)被積函數, f(x, y)ds被積表達式, ds面積元素, x, y積分變量, D積分區域, 【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學積分和. 

二重積分的几何意义

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學 

如果f(x, y)?0, 被積函數f(x, y)可解釋爲曲頂柱體的在點(x, y)處的豎坐標, 所以二重積分的几何意义就是柱体的体积. 如果f(x, y)是負的, 柱體就在xOy 面的下方, 二重積分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重積分的值是负的.

二重積分的性質(二重積分與定积分有类似的性質)

性質1 被積函數的常数因子可以提到二重積分号的外面,即

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學k爲常數)。

性質2 函数的和(或差)的二重積分等于各个函数的二重積分的和(或差)。

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

性質3 如果閉區域D被有限條曲線分爲有限個部分閉區域,則在D上的二重積分等于在各部分闭區域上的二重積分的和。例如D分爲兩個閉區域D1 D2,則

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

此性質表示二重積分对于積分區域具有可加性

性質4 如果在D上,fx,y)= 1,s 爲D的面積,則

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

此性質的几何意义很明显,因爲高爲1的平頂柱體的體積在數值上就等于柱體的底面積。

性質5:如果在D, f (x, y)?g(x, y), 則有不等式:

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

特殊地,【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

性質6Mm分別是f(x, y)在閉區域D上的最大值和最小值, sD的面積, 則有:        

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學.

上述不等式是对二重積分估值的不等式。

性質7(二重積分的中值定理)設函数f(x, y)在閉區域D上連續, s D的面積, 則在D上至少存在一點(x, h)使得【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學. 

積分區域的分类

1)上下結構:平面圖形【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學由上下兩條曲線y=f(x)與y=f(x)及左右兩條直線x=ax=b所圍成

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學 

特點:

1)平面圖形【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學上下是兩條曲線y=f(x)和y=f(x),左右是兩條直線x=ax=b

2)作穿過平面圖形【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學且平行于【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學軸的有向直線,進入區域交的是y=f(x),出來區域交的是y=f(x)

例:抛物線【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學所圍成的图形

解:该平面图形爲上下結構:

上面是曲線:【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

下面是曲線:【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

左邊是直線:【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

右邊是直線:【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學   

2)左右結構:平面圖形【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學由左右兩條曲線x=j(y)與x=j(y)及上下兩條直線y=dy=c所圍成。

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學 

特點:

1)平面圖形【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學左右是兩條曲線x=j(y)和x=j(y),上下是兩條直線y=dy=c

2)作穿過平面圖形【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學且平行于【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學軸的有向直線,進入區域交的是x=j(y),出來區域交的是x=j(y)。

例:由曲線【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學和直線【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學所圍成的图形

解:该平面图形爲左右結構:             

左邊是曲線:【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

右邊是曲線:【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

上面是直線:【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

下面是直線:【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學 

 

主要考察知識點和典型例題:

二重積分是定积分的扩展,是二元函数的积分,具有和定积分相似的定义和性質。从考试的角度看,主要是考查二重積分的計算,考查方法是直接给定一个二重積分,让我们选择合适的方法进行計算。

二重積分【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學的計算首先要確定坐標系,即:是在直角坐標系下還是在極坐標系下計算,兩種情況往年都考過,所以都需要大家掌握。

1)当二重積分【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學的積分區域爲圆面【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學、環面【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學、扇面等區域时,考虑用极坐标;当被積函數【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學含有【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學也要考慮極坐標。

2)其余情況一般考慮在直角坐標系下計算。

考点一:利用直角坐标計算二重積分(转化爲二次积分)

1、上下結構區域:   D :  j1(x)?y?j2(x), a?x?b .

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學 

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學(先【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

法則:前看端点,後作平行

2)左右結構區域:   D :  y1(y)? x?y2(y), c?y?d

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學 

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學(先【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

法則:前看端点,後作平行

典型例題  計算【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學, 其中D是由直線y=1、x=2y=x所圍成的闭區域. 

: 

方法一. 可把D看成是上下結構區域: 1?x?2, 1?y?x . 于是

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學. 

方法二. 也可把D看成是左右結構區域: 1?y?2, y?x?2 . 于是

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學. 

【注】:

 (1) 若積分區域既是 上下結構區域又是左右結構區域 , 則有

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

爲計算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.

(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干上下結構域或左右結構域 , 則

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

考點二: 利用极坐标計算二重積分(转化爲二次积分)

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學     【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學    

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學 

若積分區域【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學可表示爲:

a?q?b, j 1(q)?r?j 2(q),

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學.

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學   

典型例題:計算【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學, 其中D是由中心在原点、半径爲a 的圆周所圍成的闭區域. 

 在極坐標系中, 闭區域D可表示爲

0?r?a , 0?q ?2p . 

于是  

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學. 

往年真題:計算【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學,其中【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學的公共部分。                  

解:在極坐標系中, 闭區域D可表示爲

0?q ?【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學0?r ? 【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學, 

于是

【江蘇成考】专升本数学1---多元函數積分學 

 

 

 


首頁
热门关键词:重庆彩票网注册| 重庆彩票网登录| 重庆彩票网官方网站| 重庆彩票网安卓版| 重庆彩票网购彩大厅| 重庆彩票网最新版| 重庆彩票网网址| 重庆彩票网| 重庆彩票网app| 重庆彩票网优基地| 重庆彩票网主页| 重庆彩票网手机版| 重庆彩票网下载| 重庆彩票网ios苹果版| 重庆彩票网官网| 重庆彩票网平台| 重庆彩票网注册登录| 重庆彩票网客户端| 重庆彩票网网站| 重庆彩票网邀请码| 重庆彩票网安装|