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【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

江蘇成人高考网www.jtgov.cn 發布時間: 2018年04月01日

常微分方程

知識結構:

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

 

必備基礎知識

微分方程

表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程, 叫微分方程. 我們把未知函數爲一元函數的微分方程稱爲常微分方程。常微分方程的一般形式是:

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程 

其中【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程爲自變量,【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程是未知函數.

微分方程的階

微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數, 叫微分方程的階. 

微分方程的解

在研究實際問題時,首先要建立屬于該問題的微分方程,然後找出滿足該微分方程的函數(即解微分方程),就是說,把這個函數代入微分方程能使方程稱爲恒等式,我們稱這個函數爲該微分方程的解.

微分方程的特解、通解

微分方程的解可能含有也可能不含有任意常數. 一般地,微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数與微分方程的階数相等的解称为微分方程的通解一般解.

可分離變量的微分方程概念

設有一階微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程,如果其右端函數能分解成【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程,即有【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程,則稱方程(2.1)爲可分離變量的微分方程,其中【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程都是連續函數.

一階線性微分方程的概念

1)形如     【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程        1)

的方程稱爲一階線性微分方程. 其中函数【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程是某一區間【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程上的連續函數. (一阶是指方程中导数的最高阶是一阶,线性是指【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程的次數都是一次)

2)當【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程方程(1)成爲

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程        2)

這個方程稱爲對應于非齊次線性方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程一階齊次線性方程. 相应地,方程(1)称为一階非齊次線性方程.

二階常系數齊次線性微分方程的概念

方程       【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程         **)

稱爲二階常系數齊次線性微分方程, 其中pq均爲常數. 

二階常系數齊次線性微分方程解的結構

如果【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程是方程(**)的兩個線性無關的特解,則

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

就是方程(**)的通解,其中【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程是任意常數.

二階常系數齊次線性微分方程特征方程(就是把【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程換成【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程換成【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程換成【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程得到的方程)

方程r2+pr+q=0叫做微分方程y??+py?+qy=0的特征方程.

特征方程的兩個根r1r2可用公式

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

求出.

二階常系數非齊次線性微分方程的概念

二階常系數非齊次線性微分方程: 方程

            【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程    *)

称为二階常系數非齊次線性微分方程, 其中pq是常數. 

二階常系數非齊次線性微分方程解的结构(非齊次的通解=齊次的通解+非齊次的特解

定理  【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程是方程(*)的一個特解,而【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程是其對應的齊次方程(**)的通解,則

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程                  

就是二階非齊次線性微分方程(*)的通解.

 

主要考察知識點和典型例題:

考點一:可分離變量的微分方程的解法

第一步  分離變量, 將方程寫成g(y)dy =f(x)dx的形式;

第二步  兩端積分:【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程, 設积分后得G(y)=F(x)+C

第三步  求出由G(y)=F(x)+C所確定的隱函數y=F(x)或x=Y(y)

G(y)=F(x)+C , y=F (x)x=Y(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C稱爲隱式(通)解。

典型例題 求微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程的通解.

  

(1)分離變量得【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程(2)兩端積分得【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程         【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

(3)從而【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程,記【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程则得到题設方程的通解 【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

往年真題:微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程的通解爲______________。

解:分離變量:【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

兩邊積分:【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

所以:【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

考點二: 一階線性微分方程

1、齊次線性方程的解法

齊次線性方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程變量可分離方程. 分離變量后得

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程, 

兩邊積分, 【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程, 

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程, 

这就是齊次線性方程的通解(积分中不再加任意常数). 

2、 非齊次線性方程的解法

非齊次線性方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程的通解爲:

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程, 

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程. 

:非齊次線性方程的通解等于对应的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一个特解之和. 

典型例題  求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程     【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

  將方程標准化爲【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程于是

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

由初始條件【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程  故所求特解爲【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

往年真題:求【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程的通解

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程 【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程 于是所求通解爲

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

考點三: 二階常系數齊次線性微分方程的通解

求解步驟

求二階常系數齊次線性微分方程y??+py?+qy=0的通解的步驟爲: 

第一步  寫出微分方程的特征方程:r2+pr+q=0

第二步  求出特征方程的兩個根r1r2. 

第三步  根据特征方程的兩個根的不同情况, 寫出微分方程的通解. 

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

典型例題 求微分方程y??-2y?-3y=0的通解. 

所給微分方程的特征方程爲

r2-2r-3=0, (r+1)(r-3)=0. 

其根r1=-1, r2=3是兩個不相等的實根, 因此所求通解爲

y=C1e-x+C2e3x. 

往年真題:求方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程的通解.

所給微分方程的特征方程爲【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

其根【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程是兩個不相等的實根,

因此所求通解爲【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程

考點四、 二階常系數非齊次線性微分方程

——f(x)=Pm(x)elx 

特解得確定方法:

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程时,二階常系數非齊次線性微分方程(8.1)具有形如

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程          (8.4)

的特解,其中【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程是與【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程同次(【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程次)的多項式,而【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程是不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

典型例題 求微分方程y??-5y?+6y=xe2x的通解. 

所给方程是二階常系數非齊次線性微分方程, f(x)是Pm(x)elx(其中Pm(x)=x, l=2). 

1)與所给方程对应的齐次方程为:y??-5y?+6y=0, 

它的特征方程爲:r2-5r +6=0. 

特征方程有兩個實根r1=2, r2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解爲

 Y=C1e2x+C2e3x . 

2)由于l=2是特征方程的單根, 所以应設方程的特解为

y*=x(b0x+b1)e2x. 

把它代入所給方程, 

-2b0x+2b0-b1=x. 

比較兩端x同次冪的系數, 

 【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程, 

由此求得【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程, b1=-1. 于是求得所給方程的一個特解爲

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程. 

3)从而所给方程的通解爲

【江蘇成考】专升本数学1---常微分方程. 


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